線性相關(guān)是指：在“線性”的意義下，所考慮的一些元素有關(guān)系;線性無關(guān)是指沒有關(guān)系。一般地，線性相關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組有非零解;線性無關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應(yīng)于一般的線性方程組的求解問題。
通俗的說法，線性相關(guān)是指：在“線性”的意義下，所考慮的一些元素有關(guān)系;線性無關(guān)是指沒有關(guān)系。
在向量空間中，要討論向量之間的關(guān)系，能且只能用加法與數(shù)乘這兩個運算來實現(xiàn)，這兩個運算體現(xiàn)了“線性”的含義。通過加法與數(shù)乘可以構(gòu)造有限個向量的線性組合。如果一個向量不能由給定的有限個向量線性組合出來，這個向量和那些向量沒有線性關(guān)系!如果一個向量組中的任何向量和其余的沒有線性關(guān)系，就稱這個向量組線性無關(guān)，否則線性相關(guān)。
直觀上理解，線性相關(guān)的向量組中存在多余的向量，去掉它們不影響所考慮的問題。比如，在一個線性方程組中，如果一個方程(或其系數(shù)向量)是其余方程的線性組合，這個方程去掉得到同解的方程組。再比如，在一個向量組中，只需考慮極大無關(guān)組，它和原來的向量組是等價的。在一個有限維向量空間中，它的基很重要，基定了，整個空間中的向量就可以寫成基的線性組合的形式，且由無關(guān)性，這種表達方式是唯一的。
相關(guān)定理是指：如果個數(shù)多的向量組可以由個數(shù)少的向量組線性表出，那么多的向量組必定線性相關(guān)。
這個結(jié)論的證明主要用到未知量個數(shù)多于方程個數(shù)的齊次線性方程組必有非零解。向量的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，未知量越多，越有可能有非零解;向量分量的個數(shù)等于方程的個數(shù)，方程越多，越有可能無解。
一般地，線性相關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組有非零解;線性無關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應(yīng)于一般的線性方程組的求解問題。因此，線性相關(guān)、線性無關(guān)性的討論，本質(zhì)上就是線性方程組的解的討論，這是同一個問題的兩種表現(xiàn)形式。
任何無關(guān)向量組都可以擴充成整個空間的一組基。由此可以說明：向量空間V的任何子空間U都存在補子空間W，使得V寫成U與W的直和。這時，也說向量空間總是可分解的。對其他的代數(shù)結(jié)構(gòu)，一般沒有這么好的結(jié)論。事實上，向量空間是一種非常簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)，單獨對它的研究沒有太大的意義，只是一種實驗或練習(xí)，或者作為其它更復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。
通過給定的基，每個基元素的倍數(shù)是一個1維子空間，整個空間可寫成相應(yīng)的1維子空間的直和。不難看出：一個向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)由向量組中的向量確定的這些1維子空間成直和。由此可以定義向量空間的某些子空間的線性無關(guān)性：它們成直和。比如，不同特征值對應(yīng)的特征子空間是線性無關(guān)的，因為它們成直和。即，屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。
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